Selasa, 14 Desember 2010

Perfect Number ( Bilangan Sempurna )


Perfect Number ( Bilangan Sempurna )

Dalam matematika, bilangan  sempurna adalah bilangan bulat positif yang merupakan penjumlahan dari pembagi positif sejati, yaitu penjumlahan dari pembagi positif tidak termasuk bilangan itu sendiri. Arti lainnya, bilangan sempurna adalah bilangan yang merupakan setengah penjumlahan dari semua pembagi positif (termasuk bilangan itu sendiri), atau σ (n) = 2n.

Bilangan sempurna pertama adalah 6, karena 1, 2 dan 3 adalah pembagi positif sejati, dan
  1 +2+ 3 = 6. Berarti juga, bilangan 6 adalah sama dengan setengah jumlah semua pembagi positif: (1 +2 +3 +6) / 2 = 6.

Bilangan sempurna berikutnya adalah 28 = 1+ 2+ 4+ 7+ 14. Diikuti dengan angka sempurna 496 dan 8128 (urutan A000396 dalam OEIS).

Hanya empat bilangan sempurna yang pertama inilah yang diketahui oleh ahli zaman Yunani Kuno.

Bilangan Sempurna Genap

Euclid menemukan bahwa empat
bilangan sempurna pertama dihasilkan oleh 2p−1(2p − 1),, dengan p suatu bilangan prima:

    untuk p = 2:
21(22 − 1)  = 6
    untuk p = 3:
22(23 - 1) = 28
    untuk p = 5:
24(25 - 1) = 496
    untuk p = 7:
26(27 − 1) = 8128.

Menyadari bahwa dalam setiap kasus
2p − 1 adalah bilangan prima, Euclid membuktikan bahwa 2p−1 (2p – 1) adalah bilangan sempurna genap jika 2p − 1 adalah bilangan prima (Euclid, Prop IX.36).

Supaya 2p −  1 menjadi prima, maka perlu bahwa p itu sendiri adalah prima. Bilangan prima berbentuk  2p − 1 dikenal sebagai bilangan prima Mersenne, setelah ditemukan oleh biarawan Marin Mersenne abad ketujuh belas, yang belajar teori bilangan dan bilangan sempurna. Namun, tidak semua bilangan berbentuk 2p − 1 dengan p  prima adalah bilangan prima . Pada kenyataannya, bilangan prima Mersenne sangat jarang – dari 78.498  bilangan prima p dibawah 1.000.000, 2p − 1 yang merupakan bilangan prima hanya 33 dari 78.498  bilangan prima tersebut.

Lebih dari satu milenium setelah Euclid, Ibn al-Haytham (Alhazen) sekitar tahun 1000 Masehi menduga bahwa setiap
bilangan sempurna genap berbentuk 2p−1 (2p − 1) dimana 2p − 1 adalah bilangan prima, tapi ia tidak dapat membuktikan hasil ini .  Tidak sampai abad ke-18 ,Leonhard Euler membuktikan bahwa  rumus 2p−1 (2p − 1) akan menghasilkan semua bilangan sempurna genap. Dengan demikian, ada hubungan satu- satu antara bilangan sempurna genapdan bilangan prima Mersenne; setiap bilangan prima Mersenne menghasilkan suatu bilangan sempurna, dan sebaliknya. Hasil ini sering disebut sebagai teorema Euclid-Euler. Pada Juni 2010,ada 47 bilangan prima Mersenne dan karenanya 47 bilangan sempurna genap dikenal . Yang terbesar adalah 243,112,608 × (243,112,609 − 1) dengan 25956377 angka/ digit.

40
bilangan sempurna genap pertama adalah 2p−1 (2p − 1) untuk

    p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011 (urutan A000043 dalam OEIS).

7 lainnya yang dikenal adalah untuk p = 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667,, 42643801 43112609.
Tidak diketahui apakah ada bilangan sempurna lain di antara bilangan tersebut.

Hal ini masih belum pasti apakah ada bilangan prima Mersenne dan bilangan sempurna
tak terhingga.
Karena setiap bilangan sempurna
genap memiliki bentuk 2p−1 (2p − 1), itu adalah bilangan segitiga ke-(2p −  1) dan bilangan heksagonal ke-2p − 1. Seperti semua bilangan segitiga, yang merupakan penjumlahan dari semua bilangan asli sampai bilangan tertentu, dalam hal ini: 2p − 1. Selanjutnya, setiap bilangan sempurna genap kecuali yang pertama adalah bilangan nonagonal berpusat((2p + 1) / 3) juga penjumlahan dari 2(p−1)/2 pangkat tiga ganjil yang pertama:
6 = 2^1 (2^2 - 1) = 1^3 + 3^3 +5^3

   

Bilangan sempurna
genap(kecuali 6) bersisa 1 ketika dibagi dengan 9. Hal ini dapat dirumuskan sebagai berikut. Tambahkan angka pada sebarang bilangan sempurna genap (kecuali 6), kemudian tambahkan angka pada bilangan hasil, dan ulangi proses ini sampai satu digit diperoleh - nomor yang dihasilkan disebut akar digital - menghasilkan bilangan 1. Sebagai contoh, akar digital 8128 = 1, karena 8 +1+ 2+ 8 = 19, 1+ 9 = 10, dan 1 +0 = 1. Alasan bahwa akar digital ini tidak berlaku pada bilangan sempurna 6 adalah karena hanya berlaku pada bilangan sempurna 2p−1 (2p − 1), dengan bilangan prima ganjil p; bilangan sempurna 6 dikaitkan dengan bilangan prima genap 2.

Karena bentuk
bilangan tersebut, 2p−1 (2p − 1), maka setiap bilangan sempurna genap dinyatakan dalam angka1 sebanyak  p diikuti oleh angka 0 sebanyak p - 1:
            610 = 1102
2810 = 111002
49610 = 1111100002
812810 = 11111110000002

Bilangan Sempurna Ganjil

Tidak diketahui apakah ada bilangan sempurna ganjil. Berbagai hasil telah diperoleh, tetapi tidak ada yang membantu untuk mencari salah satu atau menyelesaikan pertanyaan tentang keberadaan mereka. Carl Pomerance telah menyajikan suatu argumen heuristik yang menunjukkan bahwa tidak ada bilangan sempurna ganjil .  Semua bilangan sempurna juga merupakan bilangan harmonik Ore, dan telah diduga juga bahwa tidak ada bilangan ganjil Bijih's harmonik Ore selain 1.

Setiap N jumlah ganjil sempurna harus memenuhi
syarat berikut:

    * N> 1
0300. pencarian sementara menunjukkan bahwa N> 10500, namun hasil ini belum dipublikasikan.
    * N adalah dalam bentuk
N=q^{\alpha} p_1^{2e_1} \cdots p_k^{2e_k},
            dimana:

        * Q, p1, ..., pk
adalah bilangan prima yang berbeda (Euler).
        * Q ≡ α ≡ 1 (mod 4) (Euler).
        * Faktor
prima terkecil dari N kurang dari (2k +8) / 3 (Grün 1952).
        *
qα > 1020, atau  p j2ej  > 1020 untuk suatu j (Cohen 1987).
        *
 N < 24k+1  (Nielsen 2003).

    * Faktor
prima terbesar N lebih besar dari 108 (Takeshi Goto dan Yasuo Ohno, 2006).
    * Faktor
prima terbesar kedua lebih besar dari 104, dan faktor prima terbesar ketiga lebih besar dari 100 (Iannucci 1999, 2000).
    * N memiliki setidaknya 75 faktor utama dan sedikitnya 9 faktor prima yang berbeda. Jika 3 bukan salah satu faktor N, maka N memiliki setidaknya 12 faktor prima yang berbeda (Nielsen 2006; Kevin Hare 2005).

Hasil Minor

Semua bilangan sempurna
genap memiliki bentuk yang sangat tepat; bilangan sempurna ganjil sangat jarang, jika memang mereka ada. Ada bilangan hasil pada bilangan sempurna yang sebenarnya cukup mudah untuk membuktikan namun demikian dangkal untuk menjelaskan, beberapa dari mereka juga berada di bawah hukum kuat Richard Guy pada bilangan kecil:

    *
Bilangan sempurna ganjil tidak terbagi oleh 105 (Kühnel 1949).
    * Setiap bilangan sempurna
ganjil berbentuk N = 1 mod 12 atau N = 117 mod 468 atau N =      81 mod 324 (Roberts 2008).
    *
Satu-satunya bilangan sempurna berbentuk x3 + 1 adalah 28 (Makowski 1962).
    *
Reciprocal dari pembagi bilangan sempurna N harus menghasilkan bilangan 2:
          o Untuk 6, kita memiliki
(1 / 6) +(1 / 3)+ (1 / 2)+ (1 / 1) = 2;
          o Untuk 28, kita memiliki
(1 / 28)+ (1 / 14) +(1 / 7) +(1 / 4)+ (1 / 2)+ (1 / 1) = 2, dll
    * Jumlah pembagi dari bilangan sempurna (apakah genap atau ganjil) harus genap, karena N tidak bisa menjadi
kuadrat yang sempurna.
          o Dari kedua hasil penelitian
ini didapat bahwa setiap bilangan sempurna adalah bilangan harmonik Ore.
    * bilangan sempurna
bukan merupakan bilangan trapesium, yaitu, mereka tidak dapat dinyatakan sebagai selisih dari dua bilangan segitiga positif tidak berurutan. Hanya ada tiga jenis bilangan non-trapesium: bilangan sempurna genap, pangkat dari dua, dan kelas bilangan terbentuk dari bilangan prima Fermat dengan cara yang mirip dengan bentuk  bilangan  sempurna genap dari bilangan prima Mersenne
Konsep Terkait

Penjumlahan pembagi sejati lain memberikan berbagai macam dari bilangan. Bilangan dimana penjumlahan kurang dari bilangan itu sendiri disebut deficient, dan di mana penjumlahan lebih besar dari bilangan itu sendiri disebut abundant. Istilah-istilah ini, bersama dengan perfect (bilangan sempurna) itu sendiri, berasal dari numerologi Yunani. Sepasang  bilangan yang merupakan penjumlahan dari masing-masing  pembagi sejatinya disebut amicable, dan lingkup yang lebih besar dari bilangan ini disebut sociable. Sebuah bilangan bulat positif sedemikian sehingga setiap bilangan bulat positif yang lebih kecil adalah jumlah dari pembagi yang berbeda itu adalah angka yang praktis.

Menurut definisi,
bilangan sempurna adalah titik tetap dari fungsi pembagi terbatas (n) = σ (n) - n, dan barisan alikuot dihubungkan dengan bilangan sempurna adalah barisan konstan.

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar